Livro: Curso de Física Básica - Volume 4 - Ótica, Relatividade, Física Quântica

Autor: H. Moysés Nussenzveig

Capítulo 6: Introdução à Relatividade

Problema 8: Velocidade da luz na água
i) Partindo da lei relativística de composição de velocidades:
$$v_{S} =\frac{(v_{S^{'}} + V)}{(1+\frac{v_{S{'}}V}{c^{2}})} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
Sendo $S$ o referencial de Fizeau (observador em repouso em relação a um terceiro referencial inercial) e $S^{'}$ o referencial da água em movimento (referencial em movimento uniforme em relação ao observador em repouso). 

ii) Para $S^{'}$ a luz se propaga com a velocidade:
$$v_ {S^{'}}=\frac{c}{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$ Sendo $c$ a velocidade da luz no vácuo e $n$ o índice de refração da luz no meio de propagação. Substituindo a (2) na (1):
$$v_{S} = \frac{(\frac{c}{n} + V)}{(1 + \frac{V}{nc})} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$
iii) Como a velocidade de escoamento da água é muito menor que a velocidade da luz no vácuo ($V \ll c$) podemos expandir o denominador da (3) e fazer a aproximação:
$$\frac{1}{(1+ \frac{V}{nc})} \simeq (1 - \frac{V}{nc}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$    
Substituindo a (4) na (3):
$$v_{s}=(\frac{c}{n} + V)(1 - \frac{V}{nc})= \frac{c}{n}+ V - \frac{V}{n^{2}} - \frac{V^{2}}{nc} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) $$ Novamente, como partimos do pressuposto de que $V \ll c$ podemos ignorar o último termo da (5) já que sua contribuição não será significativa. Assim:    
$$v_{s} \simeq \frac{c}{n} + V -\frac{V}{n^{2}}$$ Logo:
     
     $\boxed{v_{s} = \frac{c}{n} +V (1 - \frac{1}{n^{2}})}$

Resolvido: Guilherme Araújo Ottoni de Brito (curso de bacharelado de física - 6º período - 2013.2)
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