Livro: Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis

Autor: Maria Cândido Ferreira Morgado Diomara Pinto

Capítulo 6:  Integrais de Linha

Problema 3: Peça de zinco cilíndrica

i) Parametrização da superfície do círculo:

     $x = 2 cos (t)$

     $y = 2 sen (t)$

     $z=0$

Sendo que a função que vai definir a curva será (Figura 1):

     $x+y+z =2 \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ \ f (x,y) = z=2 - x- y$

Figura 1: Base da peça de formato cilíndrico (imaginar o eixo z saindo da tela).
Na região demarcada pela reta o eixo z será nulo ($0 \ a \ \frac{\pi}{2}$).

ii) Vamos ter, no intervalo de $\frac{\pi}{2} \leq t \leq 2 \pi$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

    $\sigma (t) = (2 cos (t), 2 sen (t))$

    $f(\sigma (t)) = (2 - 2 cos(t) - 2 sen(t))$

    $\sigma^{'} (t) = (-2 sen (t) , 2 cos(t))$

    $\parallel \sigma^{'} (t) \parallel = 2 $

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t)) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = 4 \int_{\frac{\pi}{4}}^{2 \pi} (1 - cos (t) - sen (t)) dt = 4 (2 + \frac{3 \pi}{2})$$

Assim, o preço total da peça de zinco será:

    $\boxed{M(8 + 6 \pi) \ reais}$  

Resolvido: Luiz Carlos Aldeia Machado (curso de bacharelado em física - 4º período)

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