Livro: Física Matemática

Autor: Eugene Butkov

Capítulo 2:  Funções de uma variável complexa

Problema 15: Tangente Hiperbólica

i) Podemos escrever as funções hiperbólicas como:

     $senh(z)=\frac{e^{z} - e^{-z}}{2}$

     $cosh(z)=\frac{e^{z} + e^{-z}}{2}$

Assim:

     $tgh(z) = \frac{senh(z)}{cosh(z)} = \frac{e^{z} - e^{-z}}{e^{z} + e^{-z}}$

Lembrando que:

     $z= x +iy$

Logo:

    

     $tgh(z) = \frac{e^{x}e^{iy} - e^{-x}e^{-iy}}{e^{x}e^{iy} + e^{-x}e^{-iy}}$     (1)

ii) Lembrando a notação de Euler:

     $e^{iy} = cos(y) + i sen(y)$     (2)

Substituindo a (2) na (1) e reagrupando os termos:

     $tgh(z) = \frac{cos(y)[e^{x} - e^{-x}] + i sen(y)[e^{x} + e^{-x}]}{cos(y)[e^{x} + e^{-x}] + i sen(y)[e^{x} - e^{-x}]}=\frac{cos(y) senh(x) + i sen(y) cosh(x)}{cos(y) cosh(x) + i sen(y) senh(x)}$

iii) Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

     $tgh(z) = \frac{cosh(x) senh(x) + i sen(y) cos(y)}{[cos(y)]^{2}[cosh(x)]^{2} + [sen(y)]^{2}[senh(x)]^{2}}$     (3)

iv) Usando as propriedades trigonométricas:

     $cosh(x) senh(x) = \frac{senh(2x)}{2}$

     $sen(y) cos(y) = \frac{sen(2y)}{2}$

     $[cos(y)]^{2} = \frac{cos(2y) + 1}{2}$

     $[sen(y)]^{2} = \frac{1- cos(2y)}{2}$

A (3) se torna:

     $tgh(z) = \frac{senh(2x) + i sen(2y)}{[cos(2y)+1] [cosh(x)]^{2} + [1-cos(2y)] [senh(x)]^{2}}$     (4)

v) Usando novamente propriedades trigonométricas:

     $[cosh(x)]^{2} - [senh(x)]^{2}=1$

     $[cosh(x)]^{2} + [senh(x)]^{2}=cosh(2x)$

A (4) se torna:

     $\boxed{tgh(z)= \frac{senh(2x) + i sen(2y)}{cosh(2x) + cos(2y)}}$