Livro: Física Matemática

Autor: Eugene Butkov

Capítulo 2:  Funções de uma variável complexa

Problema 8: Fórmula de De Moivre

Pela fórmula de De Moivre temos que:

     $z^n= cos(n\theta) + i sen(n\theta)$      $\Longrightarrow$     $z^4= cos(4\theta) + i sen(4\theta)$

Desenvolvendo vamos ter que:

     $[cos(4\theta) + i sen(4\theta)] = [cos(\theta) + i sen(\theta)]^4$

Logo:    

$cos(4\theta) + i sen(4\theta) = ([cos(\theta)]^2 - [sen(\theta)]^2 )^2+ i(4[cos(\theta)]^3 sen(\theta) - 4 cos(\theta) [sen (\theta)]^3)$

Para essa igualdade ser correta a parte real da esquerda tem que ser igual à parte real da direita e a parte imaginária da esquerda tem que ser igual à parte imaginária da direita. Logo:

     $\boxed{cos(4\theta) = [cos(\theta)]^2 - [sen(\theta)]^2}$

     $\boxed{sen(4\theta) =4[cos(\theta)]^3 sen(\theta) - 4cos(\theta)[sen(\theta)]^3}$