Livro: Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis

Autor: Maria Cândido Ferreira Morgado Diomara Pinto

Capítulo 6:  Integrais de Linha

Problema 1: Calcule $$\int_{C} f ds$$

letra a) 

                               Figura 1: Curva parametrizada da letra a.

i) Para $y = -x + 1$:

      $y = t$

      $x=-t+1$

Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq 1$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

     $\sigma (t) = (-t+1 , t)$

     $f(\sigma (t)) = t-t+1$

     $\sigma^{'} (t) = (-1,1)$

     $\parallel \sigma^{'} (t) \parallel = \sqrt{2}$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t)) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = \int_{0}^{1}\sqrt{2} dt = \sqrt{2}$$

ii) Para $y=0$:

     $y = 0$

     $x = t$

Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq 1$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

     $\sigma (t) = (t,0)$

     $f(\sigma(t))= t+0$

     $\sigma^{'} (t) = (1,0)$

     $\parallel \sigma^{'}(t) \parallel = 1$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t)) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = \int_{0}^{1} t dt = \frac{1}{2}$$

iii) Para $x=0$:

     $y=t$

     $x=0$

Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq 1$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

     $\sigma (t) = (0,t)$

     $f(\sigma (t)) = 0+t$

     $\sigma^{'} (t) =(0,1)$

     $\parallel \sigma^{'}(t) \parallel = 1$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t)) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = \int_{0}^{1} t dt = \frac{1}{2}$$

iv) Usando a propriedade da aditividade de integrais:

      $\boxed{\int_{C} f ds = \sqrt{2} + 1}$

letra b)

                                 Figura 2: curva parametrizada da letra b.

Parametrização da curva:

      $x =2 cos (t)$

      $y= 2 cos (t)$    

Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq 2 \pi$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

      $\sigma (t) = (2 cos (t), 2 sen (t))$

      $f(\sigma (t)) = (2 cos (t))^{2} - (2 sen (t))^2$

      $\sigma^{'} (t) = (-2 sen (t), 2 cos (t))$

      $\parallel \sigma^{'}(t) \parallel = 2$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t)) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = \int_{0}^{2 \pi}8[(cos (t))^2 - (sen (t))^2] dt =0$$

Logo:

      $\boxed{\int_{C} f ds =0}$

letra c)  Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq 2 \pi$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

      $\sigma (t) = (t - sen(t) , 1 - cos(t))$

      $f(\sigma (t)) = (1 - cos(t))^2 = 4 (1- [cos (\frac{t}{2})]^{2})^{2}$

      $\sigma^{'} (t) = (1- cos(t) , sen(t))$

      $\parallel \sigma^{'} (t) \parallel = \sqrt{2 - 2cos(t)}=2 sen(\frac{t}{2})$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t)) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = 8 \int_{0}^{2 \pi} (1-[cos(\frac{t}{2})])^{2} [sen (\frac{t}{2})] dt$$

Com uma mudança de variável:

      $u = cos(\frac{t}{2})$

      $du= - \frac{1}{2} sen (\frac{t}{2}) dt$

Vamos ter:

$$- 16 \int_{1}^{-1} (1-u^{2})^{2}du = \frac{256}{15}$$

Logo:

      $\boxed{\int_{C} f ds = \frac{256}{15}}$

letra d)  Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq 2 1$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

      $\sigma (t) = (1,2,t^2)$

      $f(\sigma (t))=e^{t}$

      $\sigma^{'} (t) = (0 , 0 , 2t)$

      $\parallel \sigma^{'} (t) \parallel = 2t$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = 2 \int_{0}^{1} e^{t} t dt$$

Fazendo integração por partes:

      $\int u dv = uv - \int v du$     (1)

Sendo que no nosso caso:

      $u = t \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ du=dt$     (2)

      $dv=e^{t} dt \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ v = e^{t}$     (3)

Substituindo a (2) e a (3) na (1) temos que:

$$t e^{t} \mid_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} dt = (1 + e) - (e - 1) = 2$$

Logo:

      $\boxed{\int_{C} f ds = 2}$

letra e)  Parametrização da reta:

      $x=t$

      $y=3t$

      $z=2t$

Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq 1$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

      $\sigma (t) = (t, 3t , 2t)$

      $f(\sigma (t)) = 6t^{2}$

      $\sigma^{'} (t) = (1,3,2)$

      $\parallel \sigma^{'} (t) \parallel = \sqrt{14}$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t)) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = 6 \sqrt{14} \int_{0}^{1} t^{2} dt = 2 \sqrt{14}$$

Logo:

      $\boxed{\int_{C} f ds = 2 \sqrt{14}}$

letra f) Parametrização da curva obtida na intersecção:

      $x=t$

      $y=t$

      $z = x^{2} + y^{2} = 2 t^{2}$

Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq 1$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

      $\sigma (t) = (t, t, 2 t^{2})$

      $f(\sigma (t)) = t+t$

      $\sigma^{'} (t) = (1 , 1, 4t)$

      $\parallel \sigma^{'} (t) \parallel = \sqrt{2 + 16 t^{2}}$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f ds = 2 \int_{0}^{1} t \sqrt{ 2 + 16 t^{2}} dt = \frac{13}{6} \sqrt{2}$$

Logo:

      $\boxed{\int_{C} f ds = \frac{13}{6} \sqrt{2}}$

Resolvido: Luiz Carlos Aldeia Machado (curso de bacharelado em física - 4º período)

Revisado: Lucas Carralas  (curso de bacharelado em física - 4º período)