Livro: Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis

Autor: Maria Cândido Ferreira Morgado Diomara Pinto

Capítulo 6:  Integrais de Linha

Problema 2: Massa de um arame

i) Substituindo a equação do plano na equação da esfera::

      $z = 2 -x \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ x^{2} + y^{2} + (2 - x)^{2} = 4$

Assim, a equação da curva que forma o arame:

      $(x-1)^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

ii) Parametrizando essa elipse:

      $x - 1 = cos(t) \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ x=cos (t) +1$

      $\frac{y}{\sqrt{2}} = sen (t) \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ y = \sqrt{2} sen(t)$

      $ z= 2-x \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ z = 1 - cos(t)$

Vamos ter, no intervalo de $0 \leq t \leq \pi$, uma função de classe $C_{1}$ (contínua com derivada contínua no intervalo definido) tal que:

     $\sigma (t)  = (cos (t) +1, \sqrt{2} sen (t), 1- cos (t))$

     $\sigma^{'} (t) = (-sen(t), \sqrt{2} cos (t), sen(t))$

     $f(\sigma (t)) = (cos (t) +1)(\sqrt{2} sen(t))$

  $\parallel \sigma^{'} (t) \parallel = \sqrt{(-sen(t))^{2} + (\sqrt{2} cos (t))^{2} + (sen (t))^{2}} = \sqrt{2}$

Logo a integral de linha será:

$$\int_{a}^{b} f(\sigma (t)) \parallel \sigma^{'} (t) \parallel dt = \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} (\sqrt{2} sen (t) + \sqrt{2} sen (t) cos (t) dt = 4 $$

Assim, a massa total do arame será:

    $\boxed{4 \ unidades \ de \ massa}$

 

Resolvido: Luiz Carlos Aldeia Machado (curso de bacharelado em física - 4º período)

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