Livro: Física Matemática

Autor: Eugene Butkov

Capítulo 2:  Funções de uma variável complexa

Problema 1: Parte real de um número complexo

i) Temos dois diferentes números complexos:

     $z_{1} = x_{1} + i y_{1}$

     $z_{2} = x_{2} + i y_{2}$      sendo a forma do seu conjugado      $\bar{z}_{2} = x_{2} - i y_{2}$ 

ii) Vamos desenvolver cada parte da igualdade separadamente:

     $Re_{z_{1}} Re_{z_{2}} = (x_{1})(x_{2}) $     (1)

     $\frac{1}{2} Re(z_{1} z_{2} ) + \frac{1}{2} Re (z_{1} \bar{z}_{2}) = \frac{x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2}}{2} + \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{2}$     (2)

iii) Igualando a (1) e a (2):

     $x_{1}x_{2} = \frac{1}{2}(x_{1}x_{2} + x_{1}x_{2})$

Ou seja:

     $\boxed{Re_{z_{1}} Re_{z_{2}} = \frac{1}{2} Re (z_{1} z_{2}) + \frac{1}{2} Re (z_{1} \bar{z}_{2})}$