Livro: Curso de Física Básica - Volume 2 - Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor

Autor: H. Moysés Nussenzveig

Capítulo 1: Estática dos Fluidos

Problema 4: Força de um fluido

letra a) i) Centróide é o centro geométrico de um corpo (se estamos considerando um corpo homogêneo então ele vai representar o centro de massa):

      $A_{total} \bar{z} = \int\limits_{0}^{A_{total}} z dA$     (1)

ii) Pela definição de pressão temos que:

     $P = \frac{F}{A} \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ dF = PdA \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \int\limits_{0}^{F_{total}} dF = \int\limits_{0}^{A_{total}}PdA$     (2)

E pela lei de Stevin:

     $p = p_{0} + \rho gh $      (3)

Substituindo a (3) na (2):

     $F_{total} = \rho g \int\limits_{0}^{A_{total}} zdA$

E utilizando a definição de centróide (1) :

     $\boxed{F_{total} = \rho g \bar{z} A_{total}}$

letra b) i) O torque no centro de pressões é:

     $\tau_{0} = z_{0}F_{total} \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \tau_{0} = \rho g z_{0} \bar{z} A_{total}$

O torque total sobre a região $A$ é:

     $d \tau = z dF \ \ \ \ \ \Longrightarrow  \ \ \ \ \ \ d \tau = z (\rho g z) dA \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \tau = \rho g \int\limits_{0}^{A_{total}} z^2 dA$

Como $\tau_{0}=\tau$ e lembrando que o momento de inércia pode ser escrito como:

     $I_{0} = \int\limits_{0}^{A_{total}} z^2 dA$

Logo:

     $\boxed{z_{0} = \frac{I_{0}}{\bar{z} A}}$

Resolvido: Teresa Cristina Paixão Costa (curso de física médica - 6º período)

Revisado: