Livro: Física Matemática

Autor: Eugene Butkov

Capítulo 2:  Funções de uma variável complexa

Problema 32: Séries de Taylor

Toda a função analítica em $z=a$ pode ser desenvolvida em uma série de potências definida como,

$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} C_n (z-a)^n$ ,           tal que,        $C_n = \frac{1}{n!} \frac{d^n f(z)}{d z^n} |_{z=a}$,

que será válida em uma certa vizinhança do ponto a. 

a) f(z) = cos(z)        (z=0)

i) Utilizando a definição de série de Taylor:

$f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} C_n (z)^n$

$C_n = \frac{1}{n!} \frac{d^n cos(z)}{d z^n}|_{z=0}$

ii) Assim temos os seguintes coeficientes:

$C_0 = \frac{1}{0!} \frac{d^0 cos(z)}{d z^0} |_{z=0} = (1)(cos(0)) = 1$

$C_1 = \frac{1}{1!} \frac{d^1 cos(z)}{d z^1} |_{z=0} = (1)(-sen(0)) = 0$

$C_2 = \frac{1}{2!} \frac{d^2 cos(z)}{d z^2} |_{z=0} = (\frac{1}{2!})(-cos(0)) = - \frac{1}{2!}$

$C_3 = \frac{1}{3!} \frac{d^3 cos(z)}{d z^3} |_{z=0} = (\frac{1}{3!})(sen(0)) = 0$

$C_4 = \frac{1}{4!} \frac{d^4 cos(z)}{d z^4} |_{z=0} = (\frac{1}{4!})(cos(0)) = \frac{1}{4!}$

$etc$

iii) Logo:

$cos(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} C_n (z^n) = 1 -\frac{1}{2!}z^2 + \frac{1}{4!}z^4 - \frac{1}{6!}z^6 + ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k z^{2k}}{2k!}$

iv) Utilizando o teste da convergência de Cauchy:

$L = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} |\dfrac{\frac{(-1)^{k+1} z^{2(k+1)}}{2(k+1)!}}{\frac{(-1)^{k} z^{2k}}{2k!}}| = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} |\frac{-z^2}{(2k+2)(2k+1)}| = 0$

Como $L<1$, a série converge absolutamente. Logo temos que:

$\boxed{cos(z) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k z^{2k}}{2k!}}$ para todo o  $z$